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    數(shù)學(xué)歸納法證明整除_證明書

    發(fā)布時(shí)間:2017-04-13  編輯:admin 手機(jī)版

    數(shù)學(xué)歸納法證明整除
    數(shù)學(xué)歸納法
    當(dāng)n=1 的時(shí)候
    上面的式子 = 3^4-8-9=64
    成立
    假設(shè) 當(dāng)n=k 的時(shí)候
    3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除
    當(dāng)n=k+1
    式子= 3^(2k+4)-8k-17
    =9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64
    因?yàn)?3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除
    ∴ 9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 能夠被64整除
    n=k+1 時(shí) ,成立
    根據(jù)上面的由數(shù)學(xué)歸納法
    3的2n+2次方-8n-9(n屬于N*)能被64整除。
    2
    當(dāng)n=1時(shí) 3^4-8-9=81-17=64 能被4整除.....(特殊性)
    設(shè)當(dāng)n=k時(shí),仍然成立。
    當(dāng)n=k+1時(shí),.....................(一般性)
    3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2K+2+2)-8K-17 =9*3^(2K+2)-72K+64K-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64
    因?yàn)?^(2k+2)-8k-9能被64整除
    不用寫了吧..
    正確請采納
    數(shù)學(xué)歸納法
    當(dāng)n=1 的時(shí)候
    上面的式子 = 3^4-8-9=64
    成立
    假設(shè) 當(dāng)n=k (k>=1)
    3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除
    當(dāng)n=k+1(k>=1)
    式子= 3^(2k+4)-8k-17
    =9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64
    由9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64-(3^(2k+2)-8k-9)可以被64整出
    n=k+1 時(shí) ,成立
    根據(jù)上面的由數(shù)學(xué)歸納法
    3的2n+2次方-8n-9(n屬于N*)能被64整
    3.證明:對于任意自然數(shù)n (3n+1)*7^n-1能被9整除
    數(shù)學(xué)歸納法
    (1)當(dāng)n=1時(shí) (3*1+1)*7-1=27能被9整除
    (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí) (3k+1)*7^k-1能被9整除
    則當(dāng)n=k+1時(shí) [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
    =(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k
    =[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k
    括號(hào)中的代數(shù)式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除
    所以當(dāng)n=k+1時(shí) [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除
    綜合(1)(2)可知 對于任意自然數(shù)n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除
    4證明:
    (1)n=1時(shí),3^(6n)-2^(6n) =3^6-2^6=665=19*35,命題成立
    (2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即
    35能整除3^(6k)-2^(6k)
    即3^(6k)-2^(6k)=35m (m∈Z+)
    則n=k+1時(shí)
    3^(6n)-2^(6n)
    =3^(6k+6)-2^(6k+6)
    =(3^6)*3^(6k)-(2^6)*2^(6k)
    =64*[3^(6k)-2^(6k)]+(729-64)*3^(6k)
    =64*[3^(6k)-2^(6k)]+665*3^(6k)
    =64*35m+19*35*3^(6k)
    =35*[64m+19*3^(6k)]
    即n=k+1時(shí),35能整除3^(6n)-2^(6n)
    綜合(1)(2)由數(shù)學(xué)歸納法知:
    對于一切正整數(shù)n,35能整除3^(6n)-2^(6n)
    ===============
    給定任意正整數(shù)n,設(shè)d(n)為n的約數(shù)個(gè)數(shù),證明d(n)<2√n
    證明:
    若n存在一個(gè)約數(shù)a<√n
    則n/a=b是n的另一個(gè)約數(shù),且b>√n
    顯然a,b是一一對應(yīng)的
    ∵a<√n
    ∴a的個(gè)數(shù)<√n
    ∴b的個(gè)數(shù)<√n
    ∴d(n)=a的個(gè)數(shù)+b的個(gè)數(shù)<2√n5假設(shè)n=k時(shí)成立 得3^(6k)-2^(6k)能被35整除
    3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)
    =(3^6-1)3^(6k)-(2^6-1)*2^(6k)
    =728*3^(6k)-63*2^(6k)
    =63*(3^(6k)-2^(6k))+665*3^(6k)
    因?yàn)?65/35=19 所以 3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)可以被35整除
    那么由3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)+3^(6k)-2^(6k)
    =3^(6k+1)-2^(6k+1)
    可得到
    3^(6k+1)-2^(6k+1)
    必定可以被35整除
    當(dāng)n=1時(shí)3^(6n)-2^(6n)能被35整除
    所以 證明完成
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