高中數(shù)學推理與證明
高中數(shù)學推理與證明
一、考點(限考)概要：
1、推理：
(1)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，稱為合情推理。
①歸納推理:
ⅰ定義：由某類食物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者有個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。
ⅱ特點：
*歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象，因而，由歸納所得的結論超越了前提所包容的范圍;
*歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象，因而結論具有猜測性;
*歸納的前提是特殊的情況，因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗和實驗的基礎之上;
*歸納是立足于觀察、經(jīng)驗、實驗和對有限資料分析的基礎上，提出帶有規(guī)律性的結論。
ⅲ步驟：
*對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理;
*提出帶有規(guī)律性的結論，即猜想;
*檢驗猜想。
②類比推理：
ⅰ定義：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比。
ⅱ特點：
*類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，是以舊有的認識為基礎，類比出新的結果;
*類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性;
*類比的結果是猜測性的不一定可靠，單它卻有發(fā)現(xiàn)的功能。
ⅲ步驟：
*找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征;
*用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想;
*檢驗猜想。
(2)演繹推理：
①定義：從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，這種推理叫演繹推理。
②演繹推理是由一般到特殊的推理;
③“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：
大前提——已知的一般結論;
小前提——所研究的特殊情況;
結 論——根據(jù)一般原理，對特殊情況得出的判斷。
④“三段論”推理的依據(jù)，用集合的觀點來理解：
若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的一個子集，那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P。
(3)合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系：
①歸納是由特殊到一般的推理;
②類比是由特殊到特殊的推理;
③演繹推理是由一般到特殊的推理.
④從推理的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待證明;演繹推理得到的結論一定正確。
⑤演繹推理是證明數(shù)學結論、建立數(shù)學體系的重要思維過程;而數(shù)學結論、證明思路的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理.
2、證明：
(1)直接證明：
①綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法，其特點是：“由因導果”。
②分析法：從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等)，這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法，其特點是：“執(zhí)果索因”。
③數(shù)學歸納法：
ⅰ數(shù)學歸納法公理：
如果①當n取第一個值
(例如
等)時結論正確;
②假設當
時結論正確，證明當n=k+1時結論也正確;
那么，命題對于從
開始的所有正整數(shù)n都成立。
ⅱ說明：
*數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可，用數(shù)學歸納法證明問題時必須嚴格按步驟進行;
*數(shù)學歸納法公理是證明有關自然數(shù)命題的依據(jù)。
(2)間接證明(反證法、歸謬法)：假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。
用反證法證明一個命題常采用以下步驟：
①假定命題的結論不成立;
②進行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾;與公理或定理矛盾;
③由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來的假定“結論不成立”是錯誤的;
④肯定原來命題的結論是正確的。
即“反設——歸謬——結論”