切比雪夫不等式證明
一、
試?yán)�用切比雪夫不等式證明：能以大小0.97的概率斷言，將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次，其出現(xiàn)正面的次數(shù)在400到600之間。
分析:將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次可看成是1000重貝努利試驗(yàn),因此
1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面H的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.
解:設(shè)X表示1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面H的次數(shù),則X是一個(gè)隨機(jī)變量,且
~XB(1000,1/2).因此
500
2
1
1000=×==npEX,
250)
2
答題完畢，祝你開(kāi)心!
1
1(
2
1
1000)1(= ××= =pnpDX,
而所求的概率為
}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP
}100{< =EXXP
975.0
100
1
2
= ≥
DX
.
二、
切比雪夫(Chebyshev)不等式
對(duì)于任一隨機(jī)變量X ,若EX與DX均存在,則對(duì)任意ε>0,
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2
切比雪夫不等式說(shuō)明，DX越小，則 P{|X-EX|>=ε}
越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是說(shuō)，隨機(jī)變量X取值基本上集中在EX附近，這進(jìn)一步說(shuō)明了方差的意義。
同時(shí)當(dāng)EX和DX已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了概率P{|X-EX|>=ε}的一個(gè)上界，該上界并不涉及隨機(jī)變量X的具體概率分布，而只與其方差DX和ε有關(guān)，因此，切比雪夫不等式在理論和實(shí)際中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應(yīng)用廣泛，但在一個(gè)具體問(wèn)題中，由它給出的概率上界通常比較保守。
切比雪夫不等式是指在任何數(shù)據(jù)集中，與平均數(shù)超過(guò)K倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占的比例至多是1/K^2。
在概率論中，切比雪夫不等式顯示了隨機(jī)變數(shù)的「幾乎所有」值都會(huì)「接近」平均。這個(gè)不等式以數(shù)量化這方式來(lái)描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
與平均相差2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/4
與平均相差3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/9
與平均相差4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/16
……
與平均相差k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/K^2
舉例說(shuō)，若一班有36個(gè)學(xué)生，而在一次考試中，平均分是80分，標(biāo)準(zhǔn)差是10分，我們便可得出結(jié)論：少于50分(與平均相差3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以上)的人，數(shù)目不多于4個(gè)(=36*1/9)。
設(shè)(X,Σ,μ)為一測(cè)度空間，f為定義在X上的廣義實(shí)值可測(cè)函數(shù)。對(duì)於任意實(shí)數(shù)t > 0，
一般而言，若g是非負(fù)廣義實(shí)值可測(cè)函數(shù)，在f的定義域非降，則有
上面的陳述，可透過(guò)以|f|取代f，再取如下定義而得：
概率論說(shuō)法
設(shè)X為隨機(jī)變數(shù)，期望值為μ，方差為σ2。對(duì)于任何實(shí)數(shù)k>0，
改進(jìn)
一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無(wú)法改進(jìn)�？紤]下面例子：
這個(gè)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ = 1 / k，μ = 0。
當(dāng)只求其中一邊的值的時(shí)候，有Cantelli不等式：
[1]
證明
定義，設(shè)為集的指標(biāo)函數(shù)，有
又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說(shuō)明對(duì)任意隨機(jī)變數(shù)Y和正數(shù)a有\(zhòng)Pr(|Y| \le \opeatorname{E}(|Y|)/a。取Y = (X ? μ)2及a = (kσ)2。
亦可從概率論的原理和定義開(kāi)始證明。